Erdős 问题 #1209

问题

Let $A=\{a_1<a_2<\cdots\}$ be a sequence of integers which tends to infinity sufficiently fast. If there is an $n$ such that all $n+a_k$ are primes then must there exist infinitely many such $n$?

What if we ask for $n+a_k$ to be squarefree instead of prime?

Are there $n$ such that $n+2^{2^k}$ is always a prime (or always squarefree, or infinitely often a prime, or infinitely often squarefree)?

问题陈述引自 erdosproblems.com/1209（Thomas Bloom 维护），保留英文原文。原始出处：[Er80,p.111]。该网站上的当前状态：未解决。

AI 贡献

以下记录来自 Terence Tao 的 Wiki AI contributions to Erdős problems（数据截至 2026 年 6 月 30 日）。🟢 完整、🟡 部分、⚪ 待核实、🔴 有误。

说明

Wiki 中的分类是暂定的，也不是一份评测榜单。许多 Erdős 问题从未有过完整的文献调研，看似新的结果日后可能被发现早已存在；也有一些问题本身的表述有歧义或错误。完整的讨论见问题页面。

∎