668 阶 Hadamard 矩阵

问题

$n$ 阶 Hadamard 矩阵是一个元素均为 $\pm 1$、各行两两正交的 $n \times n$ 矩阵，即满足 $HH^{\mathsf T} = nI$。只有当 $n$ 为 1、2 或 4 的倍数时它才可能存在，而 Hadamard 猜想断言对 4 的每个倍数都存在。自 Kharaghani 和 Tayfeh-Rezaie 在 2004 年找到 428 阶之后，尚未找到 Hadamard 矩阵的最小阶数就是 668。

AI 做了什么

2026 年 8 月 12 日，Anthropic 的研究员 Levent Alpöge 发布了一段编码字符串。据 Epoch AI 介绍，其中包含了 2000 以内所有此前未知阶数的 Hadamard 矩阵，668 阶也在其中。这项工作署名为三位研究者与 Claude。Alpöge 当天补充说，其中"涉及一次搜索（以及一个真正的想法，我不认为是我的）"。描述方法的论文尚未发表。

如何验证

8 月 13 日，Ion Nechita 报告说他验证了矩阵元素都是 $\pm 1$，并且满足 $HH^{\mathsf T} = nI$。Hadamard 矩阵只需这一计算就能完全验证，因此 668 阶的存在性是可靠的。

局限

人与 Claude 之间的分工并不清楚，Epoch AI 也称自己的标签是暂定的（其更新日志写的是"由 AI 解决"，问题卡片上写的是"人与 AI 合作"）。Hadamard 猜想本身仍未解决。问题描述转述自 Epoch AI（CC BY 4.0）。

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