Erdős 问题 #996

问题

Let $n_1<n_2<\cdots$ be a lacunary sequence of integers, and let $f\in L^2([0,1])$. Let $f_n$ be the $n$th partial sum of the Fourier series of $f(x)$. Is there an absolute constant $C>0$ such that, if

$$\| f-f_n\|_2 \ll \frac{1}{(\log\log\log n)^{C}}$$

then

$$\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{k\leq N}f(\{\alpha n_k\})=\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x$$

for almost every $\alpha$?

问题陈述引自 erdosproblems.com/996（Thomas Bloom 维护），保留英文原文。原始出处：[Er64b]。该网站上的当前状态：未解决。

AI 贡献

以下记录来自 Terence Tao 的 Wiki AI contributions to Erdős problems（数据截至 2026 年 6 月 30 日）。🟢 完整、🟡 部分、⚪ 待核实、🔴 有误。

说明

Wiki 中的分类是暂定的，也不是一份评测榜单。许多 Erdős 问题从未有过完整的文献调研，看似新的结果日后可能被发现早已存在；也有一些问题本身的表述有歧义或错误。完整的讨论见问题页面。

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