Erdős 问题 #992

问题

Let $x_1<x_2<\cdots$ be an infinite sequence of integers. Is it true that, for almost all $\alpha \in [0,1]$, the discrepancy

$$D(N)=\max_{I\subseteq [0,1]} \lvert \#\{ n\leq N : \{ \alpha x_n\}\in I\} - \lvert I\rvert N\rvert$$

satisfies

$$D(N) \ll N^{1/2}(\log N)^{o(1)}?$$

Or even

$$D(N)\ll N^{1/2}(\log\log N)^{O(1)}?$$

问题陈述引自 erdosproblems.com/992（Thomas Bloom 维护），保留英文原文。原始出处：[Er64b,p.56]。该网站上的当前状态：已否定。

AI 贡献

以下记录来自 Terence Tao 的 Wiki AI contributions to Erdős problems（数据截至 2026 年 6 月 30 日）。🟢 完整、🟡 部分、⚪ 待核实、🔴 有误。

说明

Wiki 中的分类是暂定的，也不是一份评测榜单。许多 Erdős 问题从未有过完整的文献调研，看似新的结果日后可能被发现早已存在；也有一些问题本身的表述有歧义或错误。完整的讨论见问题页面。

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