Erdős 问题 #987

问题

Let $x_1,x_2,\ldots \in (0,1)$ be an infinite sequence and let

$$A_k=\limsup_{n\to \infty}\left\lvert \sum_{j\leq n} e(kx_j)\right\rvert,$$

where $e(x)=e^{2\pi ix}$.

Is it true that

$$\limsup_{k\to \infty} A_k=\infty?$$

Is it possible for $A_k=o(k)$?

问题陈述引自 erdosproblems.com/987（Thomas Bloom 维护），保留英文原文。原始出处：[Er64b][Er65b][Ha74]。该网站上的当前状态：已证明（Lean 形式化）。

AI 贡献

以下记录来自 Terence Tao 的 Wiki AI contributions to Erdős problems（数据截至 2026 年 6 月 30 日）。🟢 完整、🟡 部分、⚪ 待核实、🔴 有误。

说明

Wiki 中的分类是暂定的，也不是一份评测榜单。许多 Erdős 问题从未有过完整的文献调研，看似新的结果日后可能被发现早已存在；也有一些问题本身的表述有歧义或错误。完整的讨论见问题页面。

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