Erdős 问题 #983

问题

Let $n\geq 2$ and $\pi(n)<k\leq n$. Let $f(k,n)$ be the smallest integer $r$ such that in any $A\subseteq \{1,\ldots,n\}$ of size $\lvert A\rvert=k$ there exist primes $p_1,\ldots,p_r$ such that $>r$ many $a\in A$ are only divisible by primes from $\{p_1,\ldots,p_r\}$.

Is it true that

$$2\pi(n^{1/2})-f(\pi(n)+1,n)\to \infty$$

as $n\to \infty$?

In general, estimate $f(k,n)$, particularly when $\pi(n)+1<k=o(n)$.

问题陈述引自 erdosproblems.com/983（Thomas Bloom 维护），保留英文原文。原始出处：[Er70b,p.138]。该网站上的当前状态：未解决。

AI 贡献

以下记录来自 Terence Tao 的 Wiki AI contributions to Erdős problems（数据截至 2026 年 6 月 30 日）。🟢 完整、🟡 部分、⚪ 待核实、🔴 有误。

说明

Wiki 中的分类是暂定的，也不是一份评测榜单。许多 Erdős 问题从未有过完整的文献调研，看似新的结果日后可能被发现早已存在；也有一些问题本身的表述有歧义或错误。完整的讨论见问题页面。

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