Erdős 问题 #956

问题

If $C,D\subseteq \mathbb{R}^2$ then the distance between $C$ and $D$ is defined by

$$\delta(C,D)=\inf_{\substack{c\in C\\ d\in D}}\| c-d\|.$$

Let $h(n)$ be the maximal number of unit distances between disjoint convex translates. That is, the maximal $m$ such that there is a compact convex set $C\subset \mathbb{R}^2$ and a set $X$ of size $n$ such that all $(C+x)_{x\in X}$ are disjoint and there are $m$ pairs $x_1,x_2\in X$ such that

$$\delta(C+x_1,C+x_2)=1.$$

Determine $h(n)$ - in particular, prove that there exists a constant $c>0$ such that $h(n)>n^{1+c}$ for all large $n$.

问题陈述引自 erdosproblems.com/956（Thomas Bloom 维护），保留英文原文。原始出处：[ErPa90]。该网站上的当前状态：未解决。

AI 贡献

以下记录来自 Terence Tao 的 Wiki AI contributions to Erdős problems（数据截至 2026 年 6 月 30 日）。🟢 完整、🟡 部分、⚪ 待核实、🔴 有误。

说明

Wiki 中的分类是暂定的，也不是一份评测榜单。许多 Erdős 问题从未有过完整的文献调研，看似新的结果日后可能被发现早已存在；也有一些问题本身的表述有歧义或错误。完整的讨论见问题页面。

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