Erdős 问题 #935

问题

For any integer $n=\prod p^{k_p}$ let $Q_2(n)$ be the powerful part of $n$, so that

$$Q_2(n) = \prod_{\substack{p\\ k_p\geq 2}}p^{k_p}.$$

Is it true that, for every $\epsilon>0$ and $\ell\geq 1$, if $n$ is sufficiently large then

$$Q_2(n(n+1)\cdots(n+\ell))<n^{2+\epsilon}?$$

If $\ell\geq 2$ then is

$$\limsup_{n\to \infty}\frac{Q_2(n(n+1)\cdots(n+\ell))}{n^2}$$

infinite?

If $\ell\geq 2$ then is

$$\lim_{n\to \infty}\frac{Q_2(n(n+1)\cdots(n+\ell))}{n^{\ell+1}}=0?$$

问题陈述引自 erdosproblems.com/935（Thomas Bloom 维护），保留英文原文。原始出处：[Er76d]。该网站上的当前状态：未解决。

AI 贡献

以下记录来自 Terence Tao 的 Wiki AI contributions to Erdős problems（数据截至 2026 年 6 月 30 日）。🟢 完整、🟡 部分、⚪ 待核实、🔴 有误。

说明

Wiki 中的分类是暂定的，也不是一份评测榜单。许多 Erdős 问题从未有过完整的文献调研，看似新的结果日后可能被发现早已存在；也有一些问题本身的表述有歧义或错误。完整的讨论见问题页面。

∎