Erdős 问题 #897

问题

Let $f(n)$ be an additive function (so that $f(ab)=f(a)+f(b)$ if $(a,b)=1$) such that

$$\limsup_{p,k}\frac{f(p^k)}{\log p^k}=\infty.$$

Is it true that

$$\limsup_n \frac{f(n+1)-f(n)}{\log n}=\infty?$$

Or perhaps even

$$\limsup_n \frac{f(n+1)}{f(n)}=\infty?$$

问题陈述引自 erdosproblems.com/897（Thomas Bloom 维护），保留英文原文。原始出处：[Er72,p.85]。该网站上的当前状态：已否定（Lean 形式化）。

AI 贡献

以下记录来自 Terence Tao 的 Wiki AI contributions to Erdős problems（数据截至 2026 年 6 月 30 日）。🟢 完整、🟡 部分、⚪ 待核实、🔴 有误。

说明

Wiki 中的分类是暂定的，也不是一份评测榜单。许多 Erdős 问题从未有过完整的文献调研，看似新的结果日后可能被发现早已存在；也有一些问题本身的表述有歧义或错误。完整的讨论见问题页面。

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