Erdős 问题 #875

问题

Let $A=\{a_1<a_2<\cdots\}\subset \mathbb{N}$ be an infinite set such that the sets

$$S_r = \{ a_1+\cdots +a_r : a_1<\cdots<a_r\in A\}$$

are disjoint for distinct $r\geq 1$. How fast can such a sequence grow? How small can $a_{n+1}-a_n$ be? In particular, for which $c$ is it possible that $a_{n+1}-a_n\leq n^{c}$?

问题陈述引自 erdosproblems.com/875（Thomas Bloom 维护），保留英文原文。原始出处：[Er98]。该网站上的当前状态：未解决。

AI 贡献

以下记录来自 Terence Tao 的 Wiki AI contributions to Erdős problems（数据截至 2026 年 6 月 30 日）。🟢 完整、🟡 部分、⚪ 待核实、🔴 有误。

说明

Wiki 中的分类是暂定的，也不是一份评测榜单。许多 Erdős 问题从未有过完整的文献调研，看似新的结果日后可能被发现早已存在；也有一些问题本身的表述有歧义或错误。完整的讨论见问题页面。

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