Erdős 问题 #776

问题

Let $r\geq 2$ and $A_1,\ldots,A_m\subseteq \{1,\ldots,n\}$ be such that $A_i\not\subseteq A_j$ for all $i\neq j$ and for any $t$ if there exists some $i$ with $\lvert A_i\rvert=t$ then there must exist at least $r$ sets of that size.

How large must $n$ be (as a function of $r$) to ensure that there is such a family which achieves $n-3$ distinct sizes of sets?

问题陈述引自 erdosproblems.com/776（Thomas Bloom 维护），保留英文原文。原始出处：[Er81i][Gu83]。该网站上的当前状态：未解决。

AI 贡献

以下记录来自 Terence Tao 的 Wiki AI contributions to Erdős problems（数据截至 2026 年 6 月 30 日）。🟢 完整、🟡 部分、⚪ 待核实、🔴 有误。

说明

Wiki 中的分类是暂定的，也不是一份评测榜单。许多 Erdős 问题从未有过完整的文献调研，看似新的结果日后可能被发现早已存在；也有一些问题本身的表述有歧义或错误。完整的讨论见问题页面。

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