Erdős 问题 #741

问题

Let $A\subseteq \mathbb{N}$ be such that $A+A$ has positive (upper) density. Can one always decompose $A=A_1\sqcup A_2$ such that $A_1+A_1$ and $A_2+A_2$ both have positive (upper) density?

Is there a basis $A$ of order $2$ such that if $A=A_1\sqcup A_2$ then $A_1+A_1$ and $A_2+A_2$ cannot both have bounded gaps?

问题陈述引自 erdosproblems.com/741（Thomas Bloom 维护），保留英文原文。原始出处：[Er94b,p.263]。该网站上的当前状态：已解决（Lean 形式化）。

AI 贡献

以下记录来自 Terence Tao 的 Wiki AI contributions to Erdős problems（数据截至 2026 年 6 月 30 日）。🟢 完整、🟡 部分、⚪ 待核实、🔴 有误。

日期	类型	AI 系统	结果
31 Mar, 2026	AI 独立完成	DeepMind prover agent	🟡 部分结果（Lean 形式化）（solution to variant of first part; solution to second part）
31 Mar, 2026	AI 独立完成	OpenAI internal model	🟡 部分结果（solution to second part）
16 Apr, 2026	AI 独立完成	DeepMind prover agent	🟢 完整解（Lean 形式化）

说明

Wiki 中的分类是暂定的，也不是一份评测榜单。许多 Erdős 问题从未有过完整的文献调研，看似新的结果日后可能被发现早已存在；也有一些问题本身的表述有歧义或错误。完整的讨论见问题页面。

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