Erdős 问题 #679

问题

Let $\epsilon>0$ and $\omega(n)$ count the number of distinct prime factors of $n$. Are there infinitely many values of $n$ such that

$$\omega(n-k) < (1+\epsilon)\frac{\log k}{\log\log k}$$

for all $k<n$ which are sufficiently large depending on $\epsilon$ only?

Can one show the stronger version with

$$\omega(n-k) < \frac{\log k}{\log\log k}+O(1)$$

is false?

问题陈述引自 erdosproblems.com/679（Thomas Bloom 维护），保留英文原文。原始出处：[Er79d]。该网站上的当前状态：未解决。

AI 贡献

以下记录来自 Terence Tao 的 Wiki AI contributions to Erdős problems（数据截至 2026 年 6 月 30 日）。🟢 完整、🟡 部分、⚪ 待核实、🔴 有误。

说明

Wiki 中的分类是暂定的，也不是一份评测榜单。许多 Erdős 问题从未有过完整的文献调研，看似新的结果日后可能被发现早已存在；也有一些问题本身的表述有歧义或错误。完整的讨论见问题页面。

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