Erdős 问题 #675

问题

We say that $A\subset \mathbb{N}$ has the translation property if, for every $n$, there exists some integer $t_n\geq 1$ such that, for all $1\leq a\leq n$,

$$a\in A\quad\textrm{ if and only if }\quad a+t_n\in A.$$

Does the set of the sums of two squares have the translation property? If we partition all primes into $P\sqcup Q$, such that each set contains $\gg x/\log x$ many primes $\leq x$ for all large $x$, then can the set of integers only divisible by primes from $P$ have the translation property? If $A$ is the set of squarefree numbers then how fast does the minimal such $t_n$ grow? Is it true that $t_n>\exp(n^c)$ for some constant $c>0$?

问题陈述引自 erdosproblems.com/675（Thomas Bloom 维护），保留英文原文。原始出处：[Er79]。该网站上的当前状态：未解决。

AI 贡献

以下记录来自 Terence Tao 的 Wiki AI contributions to Erdős problems（数据截至 2026 年 6 月 30 日）。🟢 完整、🟡 部分、⚪ 待核实、🔴 有误。

说明

Wiki 中的分类是暂定的，也不是一份评测榜单。许多 Erdős 问题从未有过完整的文献调研，看似新的结果日后可能被发现早已存在；也有一些问题本身的表述有歧义或错误。完整的讨论见问题页面。

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