Erdős 问题 #671

问题

Given $a_{i}^n\in [-1,1]$ for all $1\leq i\leq n<\infty$ we define $p_{i}^n$ as the unique polynomial of degree $n-1$ such that $p_{i}^n(a_{i}^n)=1$ and $p_{i}^n(a_{i'}^n)=0$ if $1\leq i'\leq n$ with $i\neq i'$. We similarly define

$$\mathcal{L}^nf(x) = \sum_{1\leq i\leq n}f(a_i^n)p_i^n(x),$$

the unique polynomial of degree $n-1$ which agrees with $f$ on $a_i^n$ for $1\leq i\leq n$ (that is, the sequence of Lagrange interpolation polynomials).

Is there such a sequence of $a_i^n$ such that for every continuous $f:[-1,1]\to \mathbb{R}$ there exists some $x\in [-1,1]$ where

$$\limsup_{n\to \infty} \sum_{1\leq i\leq n}\lvert p_{i}^n(x)\rvert=\infty$$

and yet

$$\mathcal{L}^nf(x) \to f(x)?$$

Is there such a sequence such that

$$\limsup_{n\to \infty} \sum_{1\leq i\leq n}\lvert p_{i}^n(x)\rvert=\infty$$

for every $x\in [-1,1]$ and yet for every continuous $f:[-1,1]\to \mathbb{R}$ there exists $x\in [-1,1]$ with

$$\mathcal{L}^nf(x) \to f(x)?$$

问题陈述引自 erdosproblems.com/671（Thomas Bloom 维护），保留英文原文。原始出处：[Er82e][Er97f][Va99,2.40]。该网站上的当前状态：未解决。

AI 贡献

以下记录来自 Terence Tao 的 Wiki AI contributions to Erdős problems（数据截至 2026 年 6 月 30 日）。🟢 完整、🟡 部分、⚪ 待核实、🔴 有误。

说明

Wiki 中的分类是暂定的，也不是一份评测榜单。许多 Erdős 问题从未有过完整的文献调研，看似新的结果日后可能被发现早已存在；也有一些问题本身的表述有歧义或错误。完整的讨论见问题页面。

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