Erdős 问题 #501

问题

For every $x\in\mathbb{R}$ let $A_x\subset \mathbb{R}$ be a bounded set with outer measure $<1$.

Must there exist an infinite independent set, that is, some infinite $X\subseteq \mathbb{R}$ such that $x\not\in A_y$ for all $x\neq y\in X$?

If the sets $A_x$ are closed and have measure $<1$, then must there exist an independent set of size $3$?

问题陈述引自 erdosproblems.com/501（Thomas Bloom 维护），保留英文原文。原始出处：[Er61][ErHa71]。该网站上的当前状态：不可否定。

AI 贡献

以下记录来自 Terence Tao 的 Wiki AI contributions to Erdős problems（数据截至 2026 年 6 月 30 日）。🟢 完整、🟡 部分、⚪ 待核实、🔴 有误。

说明

Wiki 中的分类是暂定的，也不是一份评测榜单。许多 Erdős 问题从未有过完整的文献调研，看似新的结果日后可能被发现早已存在；也有一些问题本身的表述有歧义或错误。完整的讨论见问题页面。

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