Erdős 问题 #415

问题

For any $n$ let $F(n)$ be the largest $k$ such that any of the $k!$ possible ordering patterns appears in some sequence of $\phi(m+1),\ldots,\phi(m+k)$ with $m+k\leq n$. Is it true that

$$F(n)=(c+o(1))\log\log\log n$$

for some constant $c$? Is the first pattern which fails to appear always

$$\phi(m+1)>\phi(m+2)>\cdots >\phi(m+k)?$$

Is it true that the 'natural' ordering which mimics what happens to $\phi(1),\ldots,\phi(k)$ is the most likely to appear?

问题陈述引自 erdosproblems.com/415（Thomas Bloom 维护），保留英文原文。原始出处：[ErGr80,p.82]。该网站上的当前状态：未解决。

AI 贡献

以下记录来自 Terence Tao 的 Wiki AI contributions to Erdős problems（数据截至 2026 年 6 月 30 日）。🟢 完整、🟡 部分、⚪ 待核实、🔴 有误。

说明

Wiki 中的分类是暂定的，也不是一份评测榜单。许多 Erdős 问题从未有过完整的文献调研，看似新的结果日后可能被发现早已存在；也有一些问题本身的表述有歧义或错误。完整的讨论见问题页面。

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