Erdős 问题 #400

问题

For any $k\geq 2$ let $g_k(n)$ denote the maximum value of

$$(a_1+\cdots+a_k)-n$$

where $a_1,\ldots,a_k$ are integers such that $a_1!\cdots a_k! \mid n!$. Can one show that

$$\sum_{n\leq x}g_k(n) \sim c_k x\log x$$

for some constant $c_k$? Is it true that there is a constant $c_k$ such that for almost all $n<x$ we have

$$g_k(n)=c_k\log x+o(\log x)?$$

问题陈述引自 erdosproblems.com/400（Thomas Bloom 维护），保留英文原文。原始出处：[ErGr80,p.77]。该网站上的当前状态：未解决。

AI 贡献

以下记录来自 Terence Tao 的 Wiki AI contributions to Erdős problems（数据截至 2026 年 6 月 30 日）。🟢 完整、🟡 部分、⚪ 待核实、🔴 有误。

说明

Wiki 中的分类是暂定的，也不是一份评测榜单。许多 Erdős 问题从未有过完整的文献调研，看似新的结果日后可能被发现早已存在；也有一些问题本身的表述有歧义或错误。完整的讨论见问题页面。

∎