Erdős 问题 #38

问题

Does there exist $B\subset\mathbb{N}$ which is not an additive basis, but is such that for every set $A\subseteq\mathbb{N}$ of Schnirelmann density $\alpha$ and every $N$ there exists $b\in B$ such that

$$\lvert (A\cup (A+b))\cap \{1,\ldots,N\}\rvert\geq (\alpha+f(\alpha))N$$

where $f(\alpha)>0$ for $0<\alpha <1$?

The Schnirelmann density is defined by

$$d_s(A) = \inf_{N\geq 1}\frac{\lvert A\cap\{1,\ldots,N\}\rvert}{N}.$$

问题陈述引自 erdosproblems.com/38（Thomas Bloom 维护），保留英文原文。原始出处：[Er56,p.136]。该网站上的当前状态：已证明（Lean 形式化）。

AI 贡献

以下记录来自 Terence Tao 的 Wiki AI contributions to Erdős problems（数据截至 2026 年 6 月 30 日）。🟢 完整、🟡 部分、⚪ 待核实、🔴 有误。

说明

Wiki 中的分类是暂定的，也不是一份评测榜单。许多 Erdős 问题从未有过完整的文献调研，看似新的结果日后可能被发现早已存在；也有一些问题本身的表述有歧义或错误。完整的讨论见问题页面。

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