Erdős 问题 #263

问题

Let $a_n$ be an increasing sequence of positive integers such that for every sequence of positive integers $b_n$ with $b_n/a_n\to 1$ the sum

$$\sum\frac{1}{b_n}$$

is irrational. Is $a_n=2^{2^n}$ such a sequence? Must such a sequence satisfy $a_n^{1/n}\to \infty$?

问题陈述引自 erdosproblems.com/263（Thomas Bloom 维护），保留英文原文。原始出处：[ErGr80,p.63][Er88c,p.105]。该网站上的当前状态：未解决。

AI 贡献

以下记录来自 Terence Tao 的 Wiki AI contributions to Erdős problems（数据截至 2026 年 6 月 30 日）。🟢 完整、🟡 部分、⚪ 待核实、🔴 有误。

说明

Wiki 中的分类是暂定的，也不是一份评测榜单。许多 Erdős 问题从未有过完整的文献调研，看似新的结果日后可能被发现早已存在；也有一些问题本身的表述有歧义或错误。完整的讨论见问题页面。

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