Erdős 问题 #258

问题

Let $a_1,a_2,\ldots$ be a sequence of positive integers with $a_n\to \infty$. Is

$$\sum_{n} \frac{\tau(n)}{a_1\cdots a_n}$$

irrational, where $\tau(n)$ is the number of divisors of $n$?

问题陈述引自 erdosproblems.com/258（Thomas Bloom 维护），保留英文原文。原始出处：[ErGr80,p.62][Er88c,p.103]。该网站上的当前状态：已证明（Lean 形式化）。

AI 贡献

以下记录来自 Terence Tao 的 Wiki AI contributions to Erdős problems（数据截至 2026 年 6 月 30 日）。🟢 完整、🟡 部分、⚪ 待核实、🔴 有误。

说明

Wiki 中的分类是暂定的，也不是一份评测榜单。许多 Erdős 问题从未有过完整的文献调研，看似新的结果日后可能被发现早已存在；也有一些问题本身的表述有歧义或错误。完整的讨论见问题页面。

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