Erdős 问题 #176

问题

Let $N(k,\ell)$ be the minimal $N$ such that for any $f:\{1,\ldots,N\}\to\{-1,1\}$ there must exist a $k$-term arithmetic progression $P$ such that

$$\left\lvert \sum_{n\in P}f(n)\right\rvert\geq \ell.$$

Find good upper bounds for $N(k,\ell)$. Is it true that for any $c>0$ there exists some $C>1$ such that

$$N(k,ck)\leq C^k?$$

What about

$$N(k,2)\leq C^k$$

or

$$N(k,\sqrt{k})\leq C^k?$$

问题陈述引自 erdosproblems.com/176（Thomas Bloom 维护），保留英文原文。原始出处：[Er65b][Er73][Er74b][Er75b][ErGr79][Er80,p.91][ErGr80,p.15]。该网站上的当前状态：未解决。

AI 贡献

以下记录来自 Terence Tao 的 Wiki AI contributions to Erdős problems（数据截至 2026 年 6 月 30 日）。🟢 完整、🟡 部分、⚪ 待核实、🔴 有误。

说明

Wiki 中的分类是暂定的，也不是一份评测榜单。许多 Erdős 问题从未有过完整的文献调研，看似新的结果日后可能被发现早已存在；也有一些问题本身的表述有歧义或错误。完整的讨论见问题页面。

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