Erdős 问题 #124

问题

For any $d\geq 1$ and $k\geq 0$ let $P(d,k)$ be the set of integers which are the sum of distinct powers $d^i$ with $i\geq k$. Let $3\leq d_1<d_2<\cdots <d_r$ be integers such that

$$\sum_{1\leq i\leq r}\frac{1}{d_r-1}\geq 1.$$

Can all sufficiently large integers be written as a sum of the shape $\sum_i c_ia_i$ where $c_i\in \{0,1\}$ and $a_i\in P(d_i,0)$?

If we further have $\mathrm{gcd}(d_1,\ldots,d_r)=1$ then, for any $k\geq 1$, can all sufficiently large integers be written as a sum of the shape $\sum_i c_ia_i$ where $c_i\in \{0,1\}$ and $a_i\in P(d_i,k)$?

问题陈述引自 erdosproblems.com/124（Thomas Bloom 维护），保留英文原文。原始出处：[BEGL96][Er97,p.156][Er97e,p.533]。该网站上的当前状态：未解决。

AI 贡献

以下记录来自 Terence Tao 的 Wiki AI contributions to Erdős problems（数据截至 2026 年 6 月 30 日）。🟢 完整、🟡 部分、⚪ 待核实、🔴 有误。

说明

Wiki 中的分类是暂定的，也不是一份评测榜单。许多 Erdős 问题从未有过完整的文献调研，看似新的结果日后可能被发现早已存在；也有一些问题本身的表述有歧义或错误。完整的讨论见问题页面。

∎