Erdős 问题 #1132

问题

For $x_1,\ldots,x_n\in [-1,1]$ let

$$l_k(x)=\frac{\prod_{i\neq k}(x-x_i)}{\prod_{i\neq k}(x_k-x_i)},$$

which are such that $l_k(x_k)=1$ and $l_k(x_i)=0$ for $i\neq k$.

Let $x_1,x_2,\ldots\in [-1,1]$ be an infinite sequence, and let

$$L_n(x) = \sum_{1\leq k\leq n}\lvert l_k(x)\rvert,$$

where each $l_k(x)$ is defined above with respect to $x_1,\ldots,x_n$.

Must there exist $x\in (-1,1)$ such that

$$L_n(x) >\frac{2}{\pi}\log n-O(1)$$

for infinitely many $n$?

Is it true that

$$\limsup_{n\to \infty}\frac{L_n(x)}{\log n}\geq \frac{2}{\pi}$$

for almost all $x\in (-1,1)$?

问题陈述引自 erdosproblems.com/1132（Thomas Bloom 维护），保留英文原文。原始出处：[Er67,p.68][Va99,2.43]。该网站上的当前状态：未解决。

AI 贡献

以下记录来自 Terence Tao 的 Wiki AI contributions to Erdős problems（数据截至 2026 年 6 月 30 日）。🟢 完整、🟡 部分、⚪ 待核实、🔴 有误。

说明

Wiki 中的分类是暂定的，也不是一份评测榜单。许多 Erdős 问题从未有过完整的文献调研，看似新的结果日后可能被发现早已存在；也有一些问题本身的表述有歧义或错误。完整的讨论见问题页面。

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