Erdős 问题 #1101

问题

If $u=\{u_1<u_2<\cdots\}$ is a sequence of integers such that $(u_i,u_j)=1$ for all $i\neq j$ and $\sum \frac{1}{u_i}<\infty$ then let $\{a_1<a_2<\cdots\}$ be the sequence of integers which are not divisible by any of the $u_i$. For any $x$ define $t_x$ by

$$u_1\cdots u_{t_x}\leq x< u_1\cdots u_{t_x}u_{t_x+1}.$$

We call such a sequence $u_i$ good if, for all $\epsilon>0$, if $x$ is sufficiently large then

$$\max_{a_k<x} (a_{k+1}-a_k) < (1+\epsilon)t_x \prod_{i}\left(1-\frac{1}{u_i}\right)^{-1}.$$

Is there a good sequence such that $u_n< n^{O(1)}$? Is there a good sequence such that $u_n\leq e^{o(n)}$?

问题陈述引自 erdosproblems.com/1101（Thomas Bloom 维护），保留英文原文。原始出处：[Er81h,p.178]。该网站上的当前状态：未解决。

AI 贡献

以下记录来自 Terence Tao 的 Wiki AI contributions to Erdős problems（数据截至 2026 年 6 月 30 日）。🟢 完整、🟡 部分、⚪ 待核实、🔴 有误。

说明

Wiki 中的分类是暂定的，也不是一份评测榜单。许多 Erdős 问题从未有过完整的文献调研，看似新的结果日后可能被发现早已存在；也有一些问题本身的表述有歧义或错误。完整的讨论见问题页面。

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