Erdős 问题 #1099

问题

Let $1=d_1<\cdots<d_{\tau(n)}=n$ be the divisors of $n$, and for $\alpha>1$ let

$$h_\alpha(n) = \sum_i \left( \frac{d_{i+1}}{d_i}-1\right)^\alpha.$$

Is it true that

$$\liminf_{n\to \infty}h_\alpha(n) \ll_\alpha 1?$$

问题陈述引自 erdosproblems.com/1099（Thomas Bloom 维护），保留英文原文。原始出处：[Er81h,p.171]。该网站上的当前状态：已证明。

AI 贡献

以下记录来自 Terence Tao 的 Wiki AI contributions to Erdős problems（数据截至 2026 年 6 月 30 日）。🟢 完整、🟡 部分、⚪ 待核实、🔴 有误。

说明

Wiki 中的分类是暂定的，也不是一份评测榜单。许多 Erdős 问题从未有过完整的文献调研，看似新的结果日后可能被发现早已存在；也有一些问题本身的表述有歧义或错误。完整的讨论见问题页面。

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