Erdős 问题 #1040

问题

Let $F\subseteq \mathbb{C}$ be a closed infinite set, and let $\mu(F)$ be the infimum of

$$\lvert \{ z: \lvert f(z)\rvert < 1\}\rvert,$$

as $f$ ranges over all polynomials of the shape $\prod (z-z_i)$ with $z_i\in F$.

Is $\mu(F)$ determined by the transfinite diameter of $F$? In particular, is $\mu(F)=0$ whenever the transfinite diameter of $F$ is $\geq 1$?

问题陈述引自 erdosproblems.com/1040（Thomas Bloom 维护），保留英文原文。原始出处：[EHP58,p.135]。该网站上的当前状态：未解决。

AI 贡献

以下记录来自 Terence Tao 的 Wiki AI contributions to Erdős problems（数据截至 2026 年 6 月 30 日）。🟢 完整、🟡 部分、⚪ 待核实、🔴 有误。

说明

Wiki 中的分类是暂定的，也不是一份评测榜单。许多 Erdős 问题从未有过完整的文献调研，看似新的结果日后可能被发现早已存在；也有一些问题本身的表述有歧义或错误。完整的讨论见问题页面。

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