Erdős 问题 #1039

问题

Let $f(z)=\prod_{i=1}^n(z-z_i)\in \mathbb{C}[z]$ with $\lvert z_i\rvert \leq 1$ for all $i$. Let $\rho(f)$ be the radius of the largest disc which is contained in $\{z: \lvert f(z)\rvert< 1\}$.

Determine the behaviour of $\rho(f)$. In particular, is it always true that $\rho(f)\gg 1/n$?

问题陈述引自 erdosproblems.com/1039（Thomas Bloom 维护），保留英文原文。原始出处：[EHP58,p.134]。该网站上的当前状态：未解决。

AI 贡献

以下记录来自 Terence Tao 的 Wiki AI contributions to Erdős problems（数据截至 2026 年 6 月 30 日）。🟢 完整、🟡 部分、⚪ 待核实、🔴 有误。

说明

Wiki 中的分类是暂定的，也不是一份评测榜单。许多 Erdős 问题从未有过完整的文献调研，看似新的结果日后可能被发现早已存在；也有一些问题本身的表述有歧义或错误。完整的讨论见问题页面。

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