秩至少为 30 和 31 的 ℚ 上椭圆曲线

Claude 与 Levent Alpöge、Ava Howell 合作，先后找到了在 ℚ 上至少有 30 个和 31 个独立有理点的椭圆曲线，打破了 2024 年创下的秩 29 的纪录。

问题
是否存在 Q\mathbb{Q} 上秩至少为 30 的椭圆曲线？
贡献方
Claude（Anthropic）与 Levent Alpöge、Ava Howell · 人与 AI 合作
验证
秩 ≥ 31 的曲线已由 ICARM 验证（2026-09-25）Epoch AI 标记为人与 AI 合作解决
时间线
Elkies–Klagsbrun 秩 29（2024）→ 秩 ≥ 30（2026-08-20）→ 秩 ≥ 31（2026-08-23）
来源
Epoch AI 问题页面秩 ≥ 30 的曲线（排行榜第 273 号）秩 ≥ 31 的曲线（排行榜第 302 号）
部分
结果新纪录 · 人与 AI 合作

问题

Q\mathbb{Q} 上椭圆曲线的有理点构成一个有限生成群，它的秩衡量曲线上有多少个独立的有理点。秩能否任意大，是一个著名的开放问题。此前的纪录是 Elkies 和 Klagsbrun 在 2024 年创下的 29。Epoch AI 的 FrontierMath Open Problems 要求找到秩至少为 30 的曲线。

AI 做了什么

2026 年 8 月 20 日，一条署名为"Claude, with Levent Alpöge and Ava Howell"的曲线被提交到椭圆曲线秩排行榜（第 273 号），附有 30 个独立有理点及其调整子（regulator）。8 月 23 日，又提交了一条有 31 个独立点的曲线（第 302 号）。

如何验证

一组独立点可以直接验算。秩 31 那条曲线的排行榜页面写着"Verified by ICARM on 2026-09-25"（ICARM 于 2026 年 9 月 25 日验证）。最初提交的秩 30 曲线漏掉了一个点，原因似乎是一个后来修复的解析程序错误。

局限

这些点证明了秩至少为 30 和 31；至于秩恰好等于这两个数，只在假设 Birch–Swinnerton-Dyer 猜想和广义黎曼猜想成立时才成立。秩是否无界仍未解决，因此我们将其记为部分结果。问题描述转述自 Epoch AI（CC BY 4.0）。

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