Kakeya needle problem（AlphaEvolve）

问题

Let $n \geq 2$. Let $C^T(n)$ denote the minimal area $|\bigcup_{j=1}^n T_j|$ of a union of triangles $T_j$ with vertices $(x_j,0)$, $(x_j + 1/n, 0)$, $(x_j + j/n, 1)$ for some real numbers $x_1,\dots,x_n$, and similarly define $C^P(n)$ denote the minimal area $|\bigcup_{j=1}^n P_j|$ of a union of parallelograms $P_j$ with vertices $(x_j,0), (x_j+1/n,0), (x_j+j/n,1), (x_j+(j+1)/n,0)$ for some real numbers $x_1,\dots,x_n$. Finally, define $S^T(n)$ to be the maximal "score"

$$\frac{\sum_{i=1}^n |T_i|}{\left(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |T_i \cap T_j|\right)^{1/2} |\bigcup_{i=1}^n T_i|^{1/2}}$$

over triangles $T_i$ as above, and define $S^P(n)$ similarly. Establish upper and lower bounds for $C^T(n)$, $C^P(n)$, $S^T(n)$, $S^P(n)$ that are as strong as possible.

问题陈述引自 AlphaEvolve 问题库的第 9 题（Google DeepMind，CC BY 4.0），保留英文原文。

AI 做了什么

AlphaEvolve 找到了一个改进当时最好已知界的构造；问题本身仍未解决。问题库中的状态：新结果。此后纪录可能已有变化，下面问题库的注释列出了它所知的最新界。

如何验证

这些结果都是明确的构造或程序；问题库中的 notebook 附有用来打分的验证代码。

局限

改进一个界是进展，而不是解答：问题的确切答案仍然未知。作者也报告说，由专家设置和引导搜索时效果更好。

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