Subsets of the grid with no isosceles triangles（AlphaEvolve）

问题

For $n$ a natural number, let $C(n)$ denote the size of the largest subset of $[n]^2 = \{1,\dots,n\}^2$ that does not contain a (possibly flat) isosceles triangle. In other words,

$$C(n) \coloneqq \max_{S\subset [n]^2}\{|S|: a,b,c\in S \text{ distinct} \implies \|a-b\| \neq \|b-c\|\}.$$

Obtain upper and lower bounds for $C(n)$ that are as strong as possible.

问题陈述引自 AlphaEvolve 问题库的第 59 题（Google DeepMind，CC BY 4.0），保留英文原文。

AI 做了什么

AlphaEvolve 找到了一个改进当时最好已知界的构造；问题本身仍未解决。问题库中的状态：新结果。此后纪录可能已有变化，下面问题库的注释列出了它所知的最新界。

如何验证

这些结果都是明确的构造或程序；问题库中的 notebook 附有用来打分的验证代码。

局限

改进一个界是进展，而不是解答：问题的确切答案仍然未知。作者也报告说，由专家设置和引导搜索时效果更好。

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