Circle packing in a square / rectangle（AlphaEvolve）

问题

For any $n \geq 1$, let $C(n)$ denote the largest sum $\sum_{i=1}^n r_i$ of radii such that one can place $n$ disjoint open disks of radius $r_1,\dots,r_n$ inside the unit square, and let $C'(n)$ denote the largest sum $\sum_{i=1}^n r_i$ of radii such that one can place $n$ disjoint open disks of radius $r_1,\dots,r_n$ inside a rectangle of perimeter $4$. Establish upper and lower bounds for $C(n)$ and $C'(n)$ that are as strong as possible.

问题陈述引自 AlphaEvolve 问题库的第 36 题（Google DeepMind，CC BY 4.0），保留英文原文。

AI 做了什么

AlphaEvolve 曾改进了最好的已知界，这一纪录后来又被超越；问题本身仍未解决。问题库中的状态：曾经的新结果，后来被超越。此后纪录可能已有变化，下面问题库的注释列出了它所知的最新界。

问题库中的注释（英文原文）

Slight improvements to the packings generated by AlphaEvolve have since been constructed by Timo Berthold and by Arnaud Deza.

如何验证

这些结果都是明确的构造或程序；问题库中的 notebook 附有用来打分的验证代码。

局限

改进一个界是进展，而不是解答：问题的确切答案仍然未知。作者也报告说，由专家设置和引导搜索时效果更好。

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