Spherical Designs（AlphaEvolve）

问题

A spherical $t$-design on the $d$-dimensional sphere $S^d \subset \R^{d+1}$ is a finite set of points $X \subset S^d$ such that for any polynomial $P$ of degree at most $t$, the average value of $P$ over $X$ is equal to the average value of $P$ over the entire sphere $S^d$. For each $t \in \mathbb{N}$, let $C(d,t)$ be the minimal number of points in a spherical $t$-design. Establish upper and lower bounds on $C(d,t)$ that are as strong as possible.

问题陈述引自 AlphaEvolve 问题库的第 32 题（Google DeepMind，CC BY 4.0），保留英文原文。

AI 做了什么

AlphaEvolve 找到了一个改进当时最好已知界的构造；问题本身仍未解决。问题库中的状态：新结果。此后纪录可能已有变化，下面问题库的注释列出了它所知的最新界。

如何验证

这些结果都是明确的构造或程序；问题库中的 notebook 附有用来打分的验证代码。

局限

改进一个界是进展，而不是解答：问题的确切答案仍然未知。作者也报告说，由专家设置和引导搜索时效果更好。

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