The Arithmetic Kakeya Conjecture（AlphaEvolve）

问题

For each slope $r in \mathbb{R} \cup \{\infty\}$ define the projection $\pi_r : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ by $\pi_r(a,b) = a + rb$ for $r \neq \infty$ and $\pi_\infty(a,b)=b$. Given a set $r_1,\dots,r_k, r_\infty$ of distinct slopes, we let $C(\{r_1,\dots,r_k\}; r_\infty)$ be the smallest constant for which the following is true: if $X,Y$ are discrete random variables (not necessarily independent) taking values in a finite set of reals, then

$${\mathbf H}(\pi_{r_\infty}(X,Y)) \leq C(\{r_1,\dots,r_k\}; r_\infty) \max_{i=1,\dots,k} {\mathbf H}(\pi_{r_i}(X,Y)),$$

where ${\mathbf H}(X) = -\sum_{x} P(X = x) \log(P(X=x))$ is the entropy of a random variable and $x$ ranges over the values taken by $X$. The arithmetic Kakeya conjecture asserts that $C(\{r_1,\dots,r_k\}; r_\infty)$ can be made arbitrarily close to $1$.

问题陈述引自 AlphaEvolve 问题库的第 30 题（Google DeepMind，CC BY 4.0），保留英文原文。

AI 做了什么

AlphaEvolve 找到了一个改进当时最好已知界的构造；问题本身仍未解决。问题库中的状态：新结果。此后纪录可能已有变化，下面问题库的注释列出了它所知的最新界。

如何验证

这些结果都是明确的构造或程序；问题库中的 notebook 附有用来打分的验证代码。

局限

改进一个界是进展，而不是解答：问题的确切答案仍然未知。作者也报告说，由专家设置和引导搜索时效果更好。

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