3D Kakeya problem（AlphaEvolve）

AlphaEvolve 找到了一个改进当时最好已知界的构造；问题本身仍未解决。

问题
AlphaEvolve 问题库第 10 题：3D Kakeya problem
贡献方
AlphaEvolve (Google DeepMind) · 大语言模型引导的进化式代码搜索，与 Georgiev、Gómez-Serrano、Tao、Wagner 合作
验证
构造可直接验算预印本（arXiv，2025）
时间线
论文提交于 2025-11-03
来源
问题页面（AlphaEvolve 问题库）论文（arXiv:2511.02864）
部分
结果改进界 · 新构造

问题

Let n≥2n \geq 2. Let C(n)C(n) denote the minimal volume ∣⋃j=1n⋃k=1nPj,k∣|\bigcup_{j=1}^n \bigcup_{k=1}^n P_{j,k}| of prisms Pj,kP_{j,k} with vertices

(xj,k,yj,k,0),(xj,k+1n,yj,k,0),(xj,k,yj,k+1n,0),(xj,k+1n,yj,k+1n,0), (xj,k+jn,yj,k+kn,1),(xj,k+j+1n,yj,k+kn,1),(xj,k+jn,yj,k+k+1n,0),(xj,k+j+1n,yj,k+k+1n,1)\begin{align*} &\quad (x_{j,k},y_{j,k},0), \left(x_{j,k}+\frac{1}{n},y_{j,k},0\right), \left(x_{j,k},y_{j,k}+\frac{1}{n},0\right), \left(x_{j,k}+\frac{1}{n},y_{j,k}+\frac{1}{n},0\right),\ &\left(x_{j,k}+\frac{j}{n},y_{j,k}+\frac{k}{n},1\right), \left(x_{j,k}+\frac{j+1}{n},y_{j,k}+\frac{k}{n},1\right), \left(x_{j,k}+\frac{j}{n},y_{j,k}+\frac{k+1}{n},0\right), \left(x_{j,k}+\frac{j+1}{n},y_{j,k}+\frac{k+1}{n},1\right) \end{align*}

for some real numbers xj,k,yj,kx_{j,k}, y_{j,k}. Establish upper and lower bounds for C(n)C(n) that are as strong as possible.

问题陈述引自 AlphaEvolve 问题库的第 10 题（Google DeepMind，CC BY 4.0），保留英文原文。

AI 做了什么

AlphaEvolve 找到了一个改进当时最好已知界的构造；问题本身仍未解决。问题库中的状态：新结果。此后纪录可能已有变化，下面问题库的注释列出了它所知的最新界。

如何验证

这些结果都是明确的构造或程序；问题库中的 notebook 附有用来打分的验证代码。

局限

改进一个界是进展，而不是解答：问题的确切答案仍然未知。作者也报告说，由专家设置和引导搜索时效果更好。

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