Claude 的圈：将三维环面有向图分解为哈密顿圈

Claude Opus 4.6 找到了一个构造，对所有奇数 m，把 Knuth 即将出版的 TAOCP 章节中的一个有向图分解为三个哈密顿圈；Knuth 给出了证明，并已完成 Lean 形式化。偶数情形另有一个尚未核实的 AI 证明。

问题
对每个 m>2m > 2，以 ijkijk 为顶点（每条弧将 ii、jj 或 kk 模 mm 加 1）的有向图，其弧能否分解为三个有向哈密顿圈？
贡献方
Claude Opus 4.6（Anthropic），由 Filip Stappers 引导；证明由 Donald Knuth 完成 · 由人引导的 AI 探索；由人完成证明
验证
证明由 Knuth 写出Lean 形式化（Kim Morrison）
时间线
Knuth 的笔记 2026-02-28，2026-04-14 修订
来源
Knuth，《Claude's Cycles》Lean 形式化
完整解奇数 m：已证明并经 Lean 检验

问题

这个有向图有 m3m^3 个顶点 ijkijk（0≤i,j,k<m0 \le i, j, k < m），每个顶点引出把 ii、jj 或 kk 模 mm 加 1 的弧。问题出自 Donald Knuth 为《计算机程序设计艺术》撰写的哈密顿圈一节的草稿：对每个 m>2m > 2，这些弧能否分解为三个有向哈密顿圈？m=2m = 2 时不可能。

AI 做了什么

Filip Stappers 把这个问题交给 Claude Opus 4.6，并引导它进行了一系列探索。在第 31 次探索中，Claude 给出了一个对 3 到 11 之间所有奇数 mm 都成立的构造；Stappers 随后对 101 以内的所有奇数 mm 做了测试。Knuth 在一篇题为《Claude's Cycles》的笔记（2026 年 2 月 28 日，4 月 14 日修订）中记述了这件事，并统计出恰好有 760 种对所有奇数 mm 都成立的"类 Claude"分解。

如何验证

Knuth 亲自写出了对所有奇数 mm 的严格证明，Kim Morrison 将其形式化为 Lean 代码。

局限

这条记录针对的是奇数情形。对于偶数 mm，Claude 只取得了部分进展；Ho Boon Suan 借助 gpt-5.3-codex 写的代码覆盖了 m≥8m \ge 8 的偶数情形（测试到 2000），随后 GPT-5.4 Pro 写出了一份 14 页的证明，Knuth 称之为"看起来无懈可击"，但尚未经过独立核实。这是 Knuth 书中的一个研究问题，而不是一个长期悬而未决的著名猜想。

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